Typ: Vorlesung mit Übungen (4+2 SWS)

Tonus: Sommersemester

Sprache: Deutsch

Vorkenntnisse: Analysis I+II, Lineare Algebra I+II

Anrechenbar für: E.Num (9LP)

Leistungsnachweis: zum Erhalt der LP ist das Bestehen der Klausur notwendig

Ergänzende Veranstaltung: Programmierpraktikum

Die Veranstaltung führt in die Numerische Mathematik ein. Behandelt werden die Themen:

• Fehleranalyse
• Lösung linearer Gleichungssysteme
• lineare Ausgleichsrechnung
• Interpolation mit Polynomen und Splines
• Numerische Quadratur
• Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

Zu diesen Themenbereichen werden Algorithmen vorgestellt, die in vielen Anwendungen in Wissenschaft und Technik von zentraler Bedeutung sind. Neben theoretischen Fragestellungen wie etwa Konvergenzanalysen wird gezielt auf praktische Aspekte (Implementierung, Verknüpfung mit Anwendungen, Visualisierung der Resultate, Einsatz moderner Softwarewerkzeuge) eingegangen. Die Übungen dienen zur Anwendung und Vertiefung des Vorlesungsstoffes.

Literatur:

• J. Stoer: Numerische Mathematik 1. Springer.
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerische Mathematik 1. Springer.
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerische Mathematik 2. Springer.
• P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I. de Gruyter.
• J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis. Springer.
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics. Springer.

Typ: Vorlesung mit Übungen

Tonus: Wintersemester

Sprache: Deutsch

Vorkenntnisse: Analysis I+II, Lineare Algebra I+II, Einführung in die Numerische Mathematik (Numerik I), Kenntnisse in MATLAB (z.B. aus Werkzeuge und Arbeitstechniken), Python oder Julia

Anrechenbar für: Wei.Num (9LP)

Leistungsnachweis:

• Wei.Num-a (Pflichtmodul) Numerik gew¨ohnlicher Differentialgleichungen
• Wei.Num-b (Wahlmodul) Anwendungen in der Finanzmathematik
• Wei.Num-c (Wahlmodul) Anwendungen in der Technik

Ergänzende Veranstaltung: Programmierpraktikum

• Kurze Einführung in MATLAB
• Modellbildung
• Analysis gewöhnlicher Differentialgleichungen: Existenz und Eindeutigkeit
• Numerische Lösungsverfahren für Anfangswertprobleme
  • Einschrittverfahren
  • Mehrschrittverfahren
  • Extrapolationsverfahren
• Einführung in Randwertaufgaben
• Je nach Wahl Anwendungen in der Finanzmathematik oder Technik

Typ: Vorlesung mit Übungen (4+2 SWS)

Tonus: Wintersemester

Sprache: Englisch

Vorkenntnisse: Grundkenntnisse in Mathematik (Analysis I+II, Lineare Algebra I+II oder ähnliches), sowie Einführung in die Numerische Mathematik (oder den Blockkurs 'Introduction to Numerical Methods for Computer Simulation')

Anrechenbar für: NM1 (9LP), NumAna1 (8LP)

Leistungsnachweis: Zum Erhalt der LP ist die erfolgreiche Bearbeitung von mindestens 50% der Aufgaben, sowie das Bestehen der Prüfung Vorraussetzung. Je nach Kurs kann die Prüfung mündlich (30min) oder schriftlich (120min) erfolgen.

Ergänzende Veranstaltung: Programmierpraktikum ODE

• Modelle für gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) in Wissenschaft, Wirtschaft und Technik
• Kurzer Überblick über die Theorie der ODEs
• Einschrittige Methoden und Extrapolationsmethoden
• Mehrschrittige Methoden
• Numerische Methoden für steife Systeme
• Anwendungsorientierte Modelle und Schemata
• Randwertprobleme
• Methoden für algebraische Differentialgleichungen
• Geometrische Integratoren

Typ: Vorlesung mit Übungen (4+2 SWS)

Tonus: Sommersemester

Sprache: Englisch

Vorkenntnisse: Grundkenntnisse in Mathematik (Analysis I+II, Lineare Algebra I+II oder ähnliches), sowie Einführung in die Numerische Mathematik (oder den Blockkurs 'Introduction to Numerical Methods for Computer Simulation') und Numerical Analysis and Simulation I: ODE

Anrechenbar für: NM2 (9LP), NumAna2 (8LP)

Leistungsnachweis: Zum Erhalt der LP ist die erfolgreiche Bearbeitung von mindestens 50% der Aufgaben, sowie das Bestehen der Prüfung Vorraussetzung. Je nach Kurs kann die Prüfung mündlich (30min) oder schriftlich (120min) erfolgen.

Ergänzende Veranstaltung: Programmierpraktikum PDE

• PDE-Modelle in Wissenschaft, Wirtschaft und Technik
• Klassifizierung von PDEs und Kriterien f¨ur ein wohlgestelltes PDE
• Grundlagen: Ableitung und Diskretisierung von PDEs
• elliptische Probleme
  • Maximumprinzip und Finite Differenzen
  • Variationsformulierung und Sobolev-Räume
  • Finite Elemente
• numerische Lösungen diskretisierter Probleme
• hyperbolische Systeme, insbesondere Erhaltungssätze
  • schwache Formulierung
  • Theorie der Charakteristika
  • Entropie
  • konservative Schemata
• parabolische Probleme
  • Evolutionsgleichungen
  • Linienmethode
  • Rothe-Methode und Konvergenz
• Gemischte Systeme
  • Modelle heterogener Systeme
  • Aufteilungsschemata
• Fallstudien

Typ: Vorlesung mit Übungen (4+2 SWS)

Tonus: Sommersemester

Sprache: Englisch

Vorkenntnisse: Analysis I+II, Lineare Algebra I+II, sowie Einführung in die Numerische Mathematik

Anrechenbar für: CompFi1 (9 LP), CompFin1 (8 LP), SKap.WM (9 LP), SKap.NAaA (9 LP),

Leistungsnachweis: Zum Erhalt der LP ist die erfolgreiche Bearbeitung von mindestens 50% der Aufgaben, von 2 Programmieraufgaben und das Bestehen der Prüfung Vorraussetzung. Je nach Kurs kann die Prüfung mündlich (30min) oder schriftlich (120min) erfolgen.

Ergänzende Veranstaltung: Programmierpraktikum für Computational Finance I

Finanzderivate sind zu einem unverzichtbaren Instrument für die Kontrolle und Absicherung von Risiken geworden. Das entscheidende Problem besteht in der Bestimmung des fairen Preises eines Finanzderivats, das auf mathematischen Methoden beruht. Einfache Modelle verwenden die Black-Scholes-Gleichung, für die eine explizite Formel für die Lösung existiert. Komplexere Modelle lassen keine analytische Lösung zu. Daher sind numerische Methoden erforderlich um die Modelle zu lösen. Sowohl die mathematische Modellierung als auch die numerische Simulation von Finanzderivaten wird in dieser Vorlesung behandelt. Wir konzentrieren uns auf zeitkontinuierliche (nicht zeitdiskrete) Modelle, die durch stochastische Differentialgleichungen oder partiellen Differentialgleichungen gegeben sind. Eine grobe Klassifizierung der Methoden zur Bestimmung des Preises eines Finanzderivats ergibt drei Typen: Binomialmethoden, Monte-Carlo-Simulationen und Techniken für partielle Differentialgleichungen, die möglicherweise freie Randbedingungen enthalten. Wir erläutern jede Art von Methode ausführlich. Entsprechende Algorithmen werden in Laborübungen mit dem Softwarepaket MATLAB.

• Modellierung des Finanzmarktes, Optionen
• Binomial methode und ihre Erweiterungens
• Risiko neutrale Auswertung, Stochastische Prozesse
• Geometrische Brownische Bewegung, Ito Lemma
• Exotische Optionen
• Stochastische Differential Gleichungen (SDEs)
• Kalibration und Sprung-Modelle
• Zufallszahlengeneratoren mit speziellen Verteilungen
• Monte Carlo Methoden, Varianz Reduzierungsansätze

Literatur

• R. Seydel, Tools for Computational Finance, 5th edition, Springer, 2012.
• D. Higham, An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Stochastics and Computation, Cambridge University Press, 2004.
• M. Günther and A. Jüngel, Finanzderivate mit MATLAB, Vieweg, 2nd ed., 2010.
• B. Øksendal, Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 6th edition, Springer, 2003.
• D. Higham, An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations, SIAM Review, Vol. 43, No. 3, pp. 525-546.
• P. Kloeden, E. Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer, 1992.

Typ: Vorlesung mit Übungen (4+2 SWS)

Tonus: Wintersemester

Sprache: Englisch

Vorkenntnisse: Analysis I+II, Lineare Algebra I+II, Einführung in die Numerische Mathematik, sowie Computational Finance I

Anrechenbar für: CompFi2 (9 LP), CompFin2 (8 LP), SKap.WM (9 LP), SKap.NAaA (9 LP)

Leistungsnachweis: Zum Erhalt der LP ist die erfolgreiche Bearbeitung von mindestens 50% der Aufgaben, von 2 Programmieraufgaben und das Bestehen der Prüfung Vorraussetzung. Je nach Kurs kann die Prüfung mündlich (30min) oder schriftlich (120min) erfolgen.

Ergänzende Veranstaltung: Programmierpraktikum für Computational Finance I

• Partielle Differential Gleichungen aus dem Finanzmarkt
• Finite Differenzen Methoden
• Finite Elemente Methoden
• Numerische Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen

Literatur

• R. Seydel, Tools for Computational Finance, 5th edition, Springer, 2012.
• D. Higham, An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Stochastics and Computation, Cambridge University Press, 2004.
• M. Günther and A. Jüngel, Finanzderivate mit MATLAB, Vieweg, 2nd ed., 2010.
• B. Øksendal, Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 6th edition, Springer, 2003.
• D. Higham, An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations, SIAM Review, Vol. 43, No. 3, pp. 525-546.
• P. Kloeden, E. Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer, 1992

Typ: Vorlesung mit Übungen (4+2 SWS / 9 LP)

Tonus: Sommersemester

Sprache: Englisch

Vorkenntnisse: ---

Leistungsnachweis: Schriftliche Prüfung, 2 Stunden

• Motivation und Grundlagen

• Supervised Techniken zur Inferenz und Vorhersage

• Klassifikationsalgorithmen

• Unsupervised Learning und Dimensionsreduktion